解析学I
教授・伊藤 正幸
2単位
目的
高校および大学の初年時に学んだ微分積分学では，リーマン式積分を学んできた．多くの実用的な積分計算において，リーマン式積分はなんら支障なく有効に働く．しかし，この考え方では，集合の長さ，面積，体積などの基本的な概念があいまいであり，解析学や確率論を進める上では積分理論の見直しが必要である． そこで，測度(長さ，面積，体積などの一般化概念)論と，それに基づいたルベーグ式積分理論の基礎を概説する．
概要
測度(長さ，面積，体積などの一般化概念)論と，それに基づいたルベーグ式積分理論の基礎を概説する．
キーワード
測度論，ルベーグ積分
関連科目
注意
計算技術や問題解法テクニックの向上の上では，この講義は一見何の役にも立たないように思われる．そればかりか，積分論の再構築がテーマであるこの講義では，複雑でなじみのない議論が展開され，はじめて学ぶ学生諸君には何回で取っ付き難いものであろう．多くの先生方も学生時代はそう感じたに違いないと思われる．それにもかかわらず，カリキュラムに組み入れられているのは，この学問なくしては，解析学が構築できないからである． 講義の難解さやに圧倒されることなく，新しい推論方法に接するという気楽な気持ちで休まず受講して欲しい．完全に理解できなくとも，その後の勉学にきっと役に立ちます．
目標
| 1. | 測度とルベーグ式積分の概念を理解する． |
| 2. | 収束定理が使える． |
計画
| 1. | リーマン積分の問題点 |
| 2. | 測度·可測空間 |
| 3. | 測度の定義 |
| 4. | 測度の構成I シグマ集合体 |
| 5. | 測度の構成II 加算加法性 |
| 6. | ルベーグ測度空間I 外測度 |
| 7. | ルベーグ測度空間II コルモゴロフの拡張定理 |
| 8. | 可測関数I 定義 |
| 9. | 可測関数II 性質 |
| 10. | 積分の定義I 単関数の積分 |
| 11. | 積分の定義II 可測関数の積分 |
| 12. | 積分の性質 |
| 13. | 収束定理I ファトウの補題 |
| 14. | 収束定理II ルベーグの収束定理 |
| 15. | 収束定理の応用 平滑化 |
評価
期末試験のほか演習とレポートも重視．
再評価
行う用意はある.
教科書
「測度·積分·確率」 梅垣寿春ほか著 共立出版
連絡先
伊藤(総合科学部1号館1220, 088-656-7219, mas-ito@ias.tokushima-u.ac(no-spam).jp)
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